El viaje
del caballo...
El
siguiente problema involucra un tablero de ajedrez y un caballo. Pero espere:
no hace falta saber casi nada de ajedrez, o sea, no se deje intimidar. Es una
propuesta muy bonita para tratar de elaborar una estrategia y, en función de lo
que usted piense, poder dar una respuesta positiva o negativa. Dése una chance
antes de decir que “esto no es para mí”. Lo único que hace falta es saber cómo
“mueve” un caballo en el ajedrez. Si nunca prestó atención, un caballo puede
hacer los siguientes movimientos:
a) dos casillas hacia adelante y
una hacia la derecha
b) dos casillas hacia adelante y una hacia la izquierda
c) dos casillas hacia atrás y una hacia la derecha
d) dos casillas hacia atrás y una hacia la izquierda
Por supuesto, se trata de que el
caballo no se “salga” del tablero, o sea, si en alguno de esos movimientos
potenciales el caballo se “cae”, entonces ese movimiento no está permitido. Sé
que es una obviedad, pero me interesa puntualizarlo. Pero hay más: faltan otros
cuatro movimientos.
a) una casilla hacia adelante y
dos hacia la derecha
b) una casilla hacia adelante y dos hacia la izquierda
c) una casilla hacia atrás y dos hacia la derecha
d) una casilla hacia atrás y dos hacia la izquierda
Como se ve, es todo muy
simétrico. Por último, antes de plantear el problema, quiero dibujar acá abajo
un tablero de ajedrez. Se trata de una grilla de 8 x 8 casillas (o sea,
comprende 64 cuadrados).
La idea ahora es tratar de
contestar esta pregunta: suponga que usted tiene un caballo puesto en este
tablero ubicado en el extremo inferior izquierdo. ¿Se puede llevar el caballo
desde este lugar hasta el extremo superior derecho pasando por cada casilla del
tablero exactamente una sola vez?
Antes de avanzar: se trata de
llegar con movimientos típicos de un caballo de ajedrez –como los que describí
más arriba– desde la casilla que ocupa el extremo inferior izquierdo hasta la
que está en el extremo superior derecho, pasando POR TODAS las casillas pero
UNA SOLA VEZ.
Como se ve, no es un problema
complicado. El enunciado es muy sencillo de entender (creo).
Lo único que
espero de usted es que no renuncie a pensar el problema muy rápido, dése una
chance. Todo lo que hay que hacer es dedicarle un rato y tropezarse con las
preguntas que le irán surgiendo a medida que lo vaya pensando.
¿Se podrá? Digo, ¿se podrá
elaborar un camino para que el caballo pueda llegar de una punta a la otra del
tablero pasando por todas los casilleros una sola vez?
Quiero dejar de escribir para que
usted avance en soledad. Nos reencontramos más abajo.
Respuesta
Antes de avanzar, quiero
proponerle que se fije una vez más en el tablero. Olvídese del caballo por
ahora, mire el color de las casillas. La inferior izquierda es de color negro.
La superior derecha es también de color negro. ¿Por qué quiero hacerla/hacerlo
pensar en esto? Porque no quiero escribir la solución tan rápido, sino que
prefiero elaborar algo junto a usted. Si no tiene ganas y/o paciencia, lea el
último párrafo de este artículo y allí está todo explicado en forma resumida,
pero créame que vale la pena que me acepte la propuesta.
Algunas preguntas:
a) Cuando el caballo hace un
movimiento de una casilla hacia otra, ¿qué pasa con el color de las casillas
inicial y final?
b) ¿Sucede siempre? Es decir, sin
importar si la casilla de inicio es blanca o negra, ¿sucede siempre lo que
usted descubrió recién?
Con este dato que ahora
tenemos(1), fíjese en el color de la casilla inicial del problema y del
casillero final. Como usted advierte, son ambas de color negro. Recuerde este
dato.
Otras reflexiones más. Si la idea
es tratar de ver si es posible elaborar un camino que cumpla con ir desde la
casilla inferior izquierda hasta la superior derecha pero pasando solamente una
vez por cada casilla, ¿cuántas movidas tiene permitido hacer el caballo? Es
decir, como en total el tablero tiene 64 casillas, y el caballo ya está parado
en una de ellas (la inferior izquierda), cada movimiento que haga tiene que
llevarlo a un casillero distinto. Como no puede repetir casilleros, ¿cuántos
movimientos terminará dando el caballo? Le propongo que piense usted la
respuesta.
Como usted descubre, el caballo
tendrá que hacer entonces exactamente 63 movidas. Cada movida debería llevarlo
a una casilla distinta.
Ahora bien: cuando el caballo
hace la primera movida (la movida uno) pasa de una casilla de color negro a una
de color blanco (no importa cuál sea la movida). Y cuando haga la movida dos,
pasará de una blanca a una negra otra vez. Y cuando haga la movida tres, pasará
a una blanca. Y cuando haga la cuatro, pasará a una negra. Y así siguiendo:
cada vez que hace una movida par, termina en una casilla de color negro, y
cuando hace una movida impar, termina en una casilla de color blanco. Este dato
también es importante.
¿Cómo hacer ahora para usar todo
lo que averiguamos? ¿Recuerda cuántas movidas tenía que hacer el caballo si
quería cumplir con el objetivo? Eran 63. O sea, un número impar de movidas.
Pero como acabamos de ver recién, cada vez que hace una movida impar, termina
en una casilla de color blanco. ¿Y de qué color es la casilla que está en el
extremo derecho? Es de color negro. Por lo tanto, ¿cuál es la conclusión?
La conclusión es que el camino
que uno quisiera poder diseñar para que el caballo pueda unir el extremo
inferior izquierdo con el superior derecho ¡no puede existir! Inexorablemente
tendrá que utilizar un número par de movimientos para llegar a una casilla de
color negro. Pero si hace 62 no llegará a cubrir todo el tablero, y si hace 64
movimientos estará forzado a repetir alguna casilla.
La moraleja, entonces, es que el
camino que uno quería elaborar no existe.
La matemática involucrada es muy
sencilla. Todo lo que hay que hacer es observar lo que sucede con los
movimientos de orden par o impar, y fijarse el color de la casilla en la que
termina esa movida, pero lo extraordinario es que con este análisis uno está seguro
de que no es que usted y/o yo no pudimos encontrar el camino pero podría venir
alguna otra persona y sí
encontrarlo. No. El camino ¡no existe! O mejor dicho,
¡no puede existir!
Y de eso se trata muchas veces.
En lugar de estar penando y golpeándose la cabeza pensando en que es uno el que
no puede encontrar la solución a un problema, un análisis de este tipo permite
concluir que no depende ni de usted ni de mí: nadie va a poder. ¿Bonito, no?
Ah, y antes de que me olvide: esto también es hacer matemática.
(1) El color de la casilla
siempre cambia: si el caballo empieza en una casilla de color blanco,
cualquiera sea el movimiento –permitido– que haga, termina en una negra. Y al
revés: si empieza en una negra, termina en una blanca.
© Escrito
por Adrián Paenza el Domingo 27/04/2014 y publicado por el Diario Página/12 de
la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.
