La Zona Azul...
El otro día, conversando con un matemático de origen
chino, me comentó sobre un problema que les habían planteado a niños de seis
años en algunas escuelas públicas. Me mostró una figura (que es la que aparece
más abajo) y me dijo que la pregunta que les hacían era la siguiente: “Tratá de
determinar el área de la superficie pintada de azul... la zona azul”.
© Escrito por Adrián Paenza el sábado 31/12/2016 y publicado por el Diario Página/12 de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.
Me pareció un poco “raro” que fuera para niños de seis
años pero, para convencerme, me mostró un enlace a una página en Internet
donde se proponía el mismo problema y en la presentación dice,
explícitamente, que fue presentado a niños chinos de seis años.
Dicho esto, ahora creo que no interesa demasiado si fue
así o no; lo que sí me importa es proponerlo acá y planteárselo a usted. Pero
quiero hacer una observación más: ¡no importa si usted puede o no hacer las
cuentas! Yo le voy a aportar los datos que quizás usted necesite, pero lo que
sí me parece muy interesante es si usted puede decir: ésta es la estrategia que
yo usaría para calcular lo que me piden. Es decir: para hacer los cálculos, yo
le voy a dar lo que necesita, pero la estrategia la tiene que diseñar usted. Y
créame, esto es lo único que importa. Para elaborar el plan, no le hace falta
nada.
Para hacer las cuentas, sí.
Ahora sí, algunos detalles que quizás necesite.
1) El área de un círculo se calcula (como usted debe
haber escuchado miles de veces, muy posiblemente en la escuela y/o colegio),
como (pi “por” radio al cuadrado). A los efectos de hacer las cuentas más
sencillas, si cree que lo necesita, utilice como aproximación del número pi, al
número 3,14. Con eso le va a alcanzar.
2) Si le hiciere falta también, el radio (en una
circunferencia o un círculo) es la mitad del diámetro. Por ejemplo, si usted
mira una rueda de bicicleta, “los rayos” que salen desde el centro son todos
radios de esa rueda. Por supuesto, es solo una manera de visualizar lo que es
un “radio”.
3) Dos datos más, que no sé si necesitará, o no, pero
para que no tenga que ir a buscarlos en otro lado: el área de un rectángulo se
calcula como la “base” por la “altura”, es decir, la longitud de un lado
multiplicada por la longitud del otro. Y por último, el área de un triángulo,
se calcula como la medida de la base por la longitud de la altura... y sí...
como me imagino que le sale una voz desde adentro que le dice: DIVIDIDO DOS.
Bien: el área de un triángulo es efectivamente, “base por altura sobre dos”.
Con todos estos datos, fíjese en la Figura 1 y trate de
estimar el área de la “Zona Azul”. La Figura consiste de un rectángulo cuyos
lados miden 10 y 20 (podrían ser metros o centímetros o la unidad que usted
quiera... ese dato es irrelevante; lo único que importa es que uno mide 10 y el
otro mide 20). Dentro de ese rectángulo hay dos círculos, que son “tangentes”
en el sentido que se “tocan” solamente en un punto (como se ve en la figura).
Antes de escribir la respuesta, me gustaría proponerle,
una vez más algo que me parece súper-importante: ¡no lea lo que viene más
abajo! ¡No se prive de pensarlo usted por su cuenta! ¿Quién la/lo apura?
Permítase tener este problema en su cabeza tanto tiempo como le haga falta.
Quizás se le ocurra enseguida; quizás no. ¿Y? ¿Qué diferencia hay? Ahora sí, su
turno.
Respuesta
Fíjese en lo siguiente. La “diagonal” que corta el
rectángulo por la mitad, deja al área del rectángulo dividido en dos mitades.
La Zona Azul que aparece en una mitad (en el triángulo de abajo), tiene una
réplica en el triángulo “de arriba”. Es decir, el triángulo de arriba, también
tiene su zona azul, sólo que no está marcada. Con este dato, ¿no tiene ganas de
seguir por su cuenta ahora?
En todo caso, lo que uno podría hacer es lo siguiente:
tomar el rectángulo entero, calcular el área, y restarle el área de los dos
círculos. ¿Qué se obtendría? No tendríamos lo que queremos, pero estaríamos
cerca, porque si al área del rectángulo le quitamos la de los dos círculos,
vamos a tener dos “zonas azules”. Nos bastará con dividir por dos... ¡y listo!
Y justamente eso es lo que hay que hacer. Faltan las cuentas, pero el
plan conduce a la solución.
¿Qué datos necesitamos?
a) Área del rectángulo. Esto es fácil: (lado por lado) =
10 x 20 = 200
b) Área de cada círculo. Como escribí más arriba, es (pi
x radio al cuadrado). ¿Cuánto mide el radio? (¿quiere pensar usted por su
cuenta?). Mientras tanto, yo sigo. Hay muchas maneras de convencerse que el
radio mide 5. Yo le propongo que mire el círculo de la derecha (por ejemplo).
El diámetro (que es la medida que va entre los dos puntos en donde ese círculo
“besa” el techo y el piso del rectángulo) mide entonces 10. Como el radio es la
mitad del diámetro, entonces, el radio mide 5.
c) ¿Cómo se calcula el cuadrado del radio entonces? Basta
con multiplicarlo por sí mismo; es decir (5 x 5) = 25...
¿Y ahora? Faltan los cálculos finales.
1) Área del círculo: (pi x radio al cuadrado) = (3,14 x
25) = 78,5
2) Área de los dos círculos sumados = 78,5 + 78,5 = 157
3) Si restamos el área del rectángulo menos el área que
ocupan los dos círculos, se tiene: 200 - 157 = 43
4) Pero este no es el resultado final, porque esto mide
el área de LAS DOS ZONAS AZULES. Todavía falta dividir este número por la
mitad: 43/2 = 21,5.
Listo. La Zona Azul mide 21,5
Para terminar, quiero hacer algunas reflexiones junto a
usted. Si el objetivo pasa por hacer todos los cálculos, entonces sí, necesita
de todos los datos que yo le di más arriba, pero para mí lo esencial es ser
capaz de elaborar un plan, una idea, una estrategia, que sea conducente para
llegar a la solución. Las cuentas las puede hacer una calculadora o una
computadora. El plan lo tuvo que hacer usted.
Feliz Año Nuevo.
