Autitos…
Tengo un problema interesantísimo para plantearle. En general, este tipo de problemas parecen no estar ligados con la matemática pero en realidad, no sólo no es así sino que forman una parte central de su estructura. Me apuro a escribir que el problema es entretenido, divertido, accesible y tiene el atractivo extra de que yo le voy a dar una parte de la solución. Si me permite sugerirle algo, no trate de resolverlo inmediatamente. Permítase pensarlo durante un tiempo. No hay apuro. Más aún: si usted logra describir “alguna” estrategia, no importa si es la óptima, verá que se va a sentir muy bien.
Por otro
lado, en la vida cotidiana, uno tiene pocas oportunidades de resolver este tipo
de problemas, y cuando se enfrenta con uno de ellos, pareciera como que uno
está “jugando” o “perdiendo el tiempo”, y en realidad, no sólo no es así, sino
que es una verdadera lástima que se interpreten de esa forma. Pensarlos (y
resolverlos) es “hacer matemática” y en el mundo que vivimos hoy, las personas
que son capaces de diseñar soluciones a este tipo de problemas, son fuertemente
valorados y muy buscados en el mercado laboral.
Bueno,
basta de prolegómenos. Acá voy.
Suponga
que usted tiene 25 autitos de carrera. Necesita seleccionar los tres más
rápidos. Tiene una pista para hacerlos correr pero no tiene cronómetro. Eso no
sería un problema si usted pudiera hacerlos correr a todos al mismo tiempo.
Bastaría con hacerlos dar vueltas a una pista (digamos 10 vueltas) y quedarse
con los tres que lleguen primeros. Pero acá es donde aparece la primera dificultad:
la pista solo “tolera” cinco autitos por carrera. Es decir, en la pista no
puede haber más de cinco autos por vez.
Y acá
llega el punto crítico. Uno podría preguntarse: ¿cuántas carreras tengo que
hacerlos correr para poder encontrar los tres más rápidos? Si uno no tuviera
tiempo y recursos ilimitados, estoy seguro de que usted podría diseñar
múltiples alternativas para determinar los tres más rápidos, pero ¿qué pasaría
si yo le dijera que solamente puede usar la pista siete veces? Como usted advierte,
ahora el problema adquiere otra dimensión. ¿Cómo hacer? ¿Cómo elegir los
autitos que tienen que correr esas siete carreras?
Resumo:
uno tiene 25 autitos, una pista para hacerlos dar vueltas. Solamente se
permiten cinco autos por carrera. No hay un cronómetro para determinar los
tiempos. Todo lo que se puede hacer al terminar una carrera, es ordenarlos por
orden de llegada. Se trata entonces de elegir los tres más rápidos usando nada
más que siete carreras.
Como se
ve, el problema consiste en diseñar una estrategia para seleccionar los autitos
para cada carrera. Esa es la parte que le corresponde a usted. Yo ya lo “ayudé”
cuando le dije que con siete carreras alcanza. Ahora se queda usted con la
chance de pensar.
Solución
Yo voy a
proponer acá una estrategia posible. Estoy seguro de que debe haber otras. En
todo caso, si usted encontró alguna, fíjese si coincide con la que figura más
abajo. Si así no fuere, nadie dice que la suya sea ni peor ni mejor que la mía.
Serán dos formas diferentes de resolver el mismo problema.
Las
primeras cinco carreras servirán para determinar “algún” orden entre los 25
autitos. Digamos que terminan ordenados así:
A1, A2, A3, A4, A5
(donde
A1 es el más rápido entre estos cinco y A5 el más lento).
De la
misma forma, se obtienen estos otros resultados:
B1,
B2, B3, B4, B5
C1,
C2, C3, C4, C5
D1, D2, D3, D4, D5
E1, E2, E3, E4, E5
Antes de
avanzar, fíjese que estas carreras sólo determinan un orden entre los cinco que
estaban en la pista, pero no se puede sacar ninguna conclusión si uno los
mezclara. ¿Qué quiero decir con esto? Es que el auto C5 pudo haber sido el más
lento cuando se enfrentó con C1, C2, C3 y C4, pero quizás hubiera sido el más
rápido si yo lo hubiera hecho correr con A1, A2, A3 y A4.
Entonces
ahora, para la sexta carrera, voy a tratar de relacionar a todos los
competidores de alguna forma. Para eso, hago correr a los ganadores de las
cinco carreras. Es decir, hago correr a A1, B1, C1, D1 y E1.
Supongamos
que este fue el resultado de esa competencia:
A1, B1, C1, D1 y E1.
¿Qué
conclusiones se pueden sacar de estas seis carreras? Este sería el momento en
el que usted, si llegó hasta acá, debería detenerse y pensar qué hacer para
poder concluir cuáles son los tres más rápidos –entre los veinticinco– pero
ahora, ¡solamente nos queda una carrera para realizar! Yo voy a seguir acá
abajo, pero le sugeriría que no lea lo que viene sin haberle dedicado un rato a
pensar usted en soledad. Créame que vale la pena.
Sigo.
Ahora voy a sacar –junto con usted– algunas conclusiones de las seis carreras
que hubo hasta acá.
De las
cinco primeras carreras se obtienen estas dos conclusiones:
1) Los
autitos A4 y A5 quedan eliminados, porque tienen por delante de ellos tres que
son más rápidos: A1, A2 y A3.
2) Los
autitos B4, B5, C4, C5, D4, D5, E4 y E5 quedan eliminados por la misma razón:
todos tienen tres autitos más rápidos.
Luego, ya
hemos eliminado 10 autitos. Nos quedan 15. ¿Qué se puede inferir ahora con la
sexta carrera que relaciona los ganadores de las cinco primeras?
Fíjese
que como el orden en esa sexta carrera fue A1, B1, C1, D1 y E1, esto significa
que quedan eliminados D1 y E1 porque tienen tres autos por delante: A1, B1 y
C1.
Pero si
D1 y E1 están eliminados, entonces también lo están todos los que corren con
las letras D y E, porque si los dos más rápidos quedaron afuera, con más razón
los que vinieron por detrás.
Hasta acá
entonces, quedaron afuera, por distintas razones (y fíjese si usted está de
acuerdo): A4, A5, B4, B5, C4, C5 y todos los que corrieron con las letras D y
E. Esto significa que hemos eliminado 16 autos. Nos quedan nueve.
Ahora
acompáñeme a pensar por este lado. Fíjese que la sexta carrera dice que C1
tiene dos autos por delante: A1 y B1. Luego, C2 y C3 tienen tres o más autos
que son más rápidos que ellos, y por lo tanto, quedan eliminados también. Esto
permite afirmar que de los coches que llevan la letra C, el único que tiene
posibilidades de estar entre los tres más rápidos es C1 y se quedan afuera C2 y
C3.
Por su
parte, como B3 tiene por delante a B1 y B2 por la carrera entre ellos y además,
de la sexta carrera, A1 es más rápido que B1, y por lo tanto que B2. Esto dice
que B3 se queda afuera porque están por delante de él A1, B1 y B2.
Yo sé
que todo esto se parece a una “sopa de letras”, pero si usted me siguió hasta
acá, habrá descubierto que quedaron estos autos como candidatos:
A1, A2, A3, B1, B2 y C1 (*)
¿Y
entonces? Tenemos seis autos para seleccionar los tres más rápidos pero no los
podemos hacer correr a todos porque solo entran cinco en la pista. Nos queda
una sola carrera para usar. ¿Qué hacer?
Y la
respuesta es que sí, que se puede hacer algo. Más aún: lo que le propongo hacer
es pensar con una idea diferente. Fíjese que el auto A1, al haber ganado la
sexta carrera, demostró ser el más rápido de los 25 autos: ganó su serie (con
todos los autos que llevaban la letra A), pero además, les ganó a todos los
ganadores de las otras carreras. Luego, el auto A1 seguro que está entre los
tres más rápidos. Tanto es así, que es él mismo el más rápido de todos. Luego,
no hace falta que lo haga correr con los otros que quedaron entre los que
figuran en (*). Lo que puedo hacer, entonces, es hacer correr a los otros cinco
(A2, A3, B1, B2 y C1) y quedarme con los dos más rápidos. ¿Se entiende la
diferencia? Ahora no necesito seleccionar los tres más rápidos entre los cinco
que quedan, sino los dos más rápidos. De esta forma, estos dos autos más el A1
serán los tres más rápidos que estaba buscando y utilicé para descubrirlos,
solamente siete carreras.
Moraleja
Como
escribí más arriba, aunque no lo parezca, esto es “hacer matemática”. Más aún:
los matemáticos, o los programadores, detectarían que hay algunas variaciones
que se pueden hacer al problema original y buscar diferentes estrategias para
resolverlos. Sígame por acá.
1) Uno
podría modificar el número de autos. No tienen por qué ser 25. ¿Cómo cambiará
la estrategia si en lugar de haber 25 autos hubiera 10? ¿Y si hubiera 30? ¿O
100? Esto ya muestra que quizá, siete carreras no alcanzarán (o sobrarán,
dependiendo el caso).
2) Otra
variable a considerar es el número de autos que entran por carrera. Si en lugar
de entrar cinco entraran 25, por ejemplo, entonces en el problema que planteé
más arriba alcanzaría con una sola carrera: corren todos y listo. Me quedo con
los tres más rápidos. Pero si uno permitiera seis autos, ¿cómo habría que
modificar lo que hicimos más arriba? ¿Y si se permitieran siete autos por
carrera? ¿O diez? Luego, el número de autos por carrera también es una variable
a considerar.
3) ¿Y si
en lugar de elegir los tres más rápidos hubiera que elegir los cuatro más
rápidos? ¿O los dos más rápidos? Es decir, el número de autos a seleccionar es
también una variable a tener en cuenta.
Como se
ve, reducir el problema a 25 autos, en donde pueden correr cinco por carrera y
hay que elegir los tres más rápidos, es sólo un caso particular entre los
infinitos posibles. Elaborar estrategias que permitan resolver todos los
problemas al mismo tiempo no es algo sencillo ni mucho menos, pero como usted
detecta, el problema original, que parecía un juego, se puede transformar en
algo muchísimo más complicado y muchísimo más útil. Es solo cuestión de
aprender a diseñar estrategias que minimicen el esfuerzo, optimicen los
recursos y maximicen los resultados. Algo parecido a lo que sucede en la vida
cotidiana, ¿no es así?
* Este
problema lo conocí a través de Juan Pablo Pinasco. Lo propuse en varias
escuelas públicas del país y también el 25 de octubre en una reunión en
Tecnópolis.
© Escrito por Adrián Paenza el domingo
05/04/2015 y publicado por el Diario Página/12 de la Ciudad autónoma de Buenos
Aires.
