La Paradoja de los Cajones de Bertrand… @dealgunamanera...

La Paradoja de los Cajones de Bertrand…

Los cajones de Bertrand. Figura 1

Quiero contar un problema que suele generar múltiples controversias. Y está bien que eso suceda. En principio, la intuición indica una potencial respuesta. En general, esa respuesta no está bien y, por lo tanto, despierta –con toda razón– una  rebelión frente al interlocutor. Téngame un poquito de paciencia y ya verá a qué me refiero.

© Escrito por Adrián Paenza el sábado 18/03/2017 y publicado por el Diario Página/12 de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.

De hecho, cuando el matemático francés Joseph Bertrand lo presentó en 1889 en su libro “Calcul des Probabilities” (“Cálculo de Probabilidades”), la comunidad científica de la época entró en múltiples discusiones sobre si la solución presentada en el libro está bien o no. Es posible que a usted le pase lo mismo... o no, pero en cualquier caso, creo que vale la pena aprovechar este ejemplo para educar la intuición o, en todo caso, ponerla a prueba.

Supongo que es innecesario, pero lo escribo igual: el problema tiene respuesta única. Es decir, más allá de lo que yo escriba acá abajo, en ciencia no existe el principio de autoridad. Si usted no se queda satisfecha/o con lo que va a leer, ¡no lo acepte! Discútalo internamente (ya que yo no estoy allí con usted), hasta convencerse que o bien estoy equivocado yo... o usted. A mí... no me crea nada: lo único que vale es su propia deducción.

Lo curioso es que –de acuerdo con mi experiencia– aún en el momento en el que uno escucha/lee/entiende cuál es la verdadera respuesta... decía, ni aún así uno se queda conforme. ¡Y está muy bien que sea así! Acá voy.

En una habitación hay tres escritorios iguales con dos cajones cada uno (como los que se ven en la Figura 1).

Uno de los escritorios tiene una moneda de oro en cada cajón; otro tiene una moneda de plata en cada uno mientras que en el restante hay una moneda de cada metal. Desde afuera no hay manera de decidir qué contiene cada cajón.

Usted entra en esa habitación y elige un cajón de cualquiera de los tres escritorios. Lo abre y descubre que adentro hay una moneda de oro. Aquí es donde viene la pregunta (y el problema):

“¿Cuál es la probabilidad de que en el otro cajón del mismo escritorio, haya también una moneda de oro?”

Creo que el enunciado es sencillo y la pregunta es muy clara. Ahora... le toca a usted.

Respuesta.

Antes de proponerle que pensemos juntos la respuesta, tengo una pregunta: ¿a qué resultado llegó usted?

La tentación es decir que la probabilidad de que en el otro cajón haya una moneda de oro es ½ (50 por ciento). ¿Por qué? Es que una posible forma de razonar es la siguiente. Como usted tiene en la mano una moneda de oro, eso sirve para descartar al escritorio que tiene las dos monedas de plata. Los dos (escritorios) que quedan en carrera son: el que tiene las dos monedas de oro y el que tiene una de cada una. Y esto es obviamente correcto.

¿Cómo seguir? Si la moneda de oro que usted tiene en la mano la encontró dentro del cajón que corresponde al escritorio que tiene dos monedas de oro, entonces, la que queda es –justamente– de oro.

Pero también podría haber sucedido, que usted haya elegido el escritorio en donde cada cajón tiene una moneda de un metal distinto. En este caso, la que queda, ¡es de plata!

Desde aquí, pareciera... y quiero enfatizar esta palabra... pareciera que uno está en condiciones de contestar la pregunta de esta forma:

"La probabilidad entonces que la otra moneda sea de oro es ½ (o lo que es lo mismo, 50 por ciento)”

Sin embargo, esta respuesta no es correcta.

¿Cómo dijo? ¿Por qué? ¿Cómo que no es correcta? Y puedo imaginarme su fastidio.

“Si yo elegí una de oro, la que queda puede ser o de oro o de plata y por lo tanto, hay justo la mitad de posibilidades de que sea una u otra.

¿No se deduce de acá que la probabilidad es justo ½ (un 50 por ciento)? ¿Dónde está el error”.

Entiendo lo que me dice, pero ahora, permítame incluir un elemento que no tuvimos en cuenta hasta acá. Para hacer más gráfico el análisis, hagamos de cuenta que las monedas que están dentro de los escritorios tienen una etiqueta.

Me explico: en el escritorio que hay una de cada metal, llamo O1 (a la moneda de oro) y P1, a la de plata. Del mismo modo, llamo O2 y O3, a las dos monedas de oro que hay en el otro escritorio (el que tiene las dos monedas de oro).

Ahora, cuente conmigo cuáles son los escenarios posibles.

1) Posibilidad 1: usted abrió el cajón que contiene O1, y por lo tanto, en el otro cajón (que usted no ve) está P1. Perfecto.

2) Posibilidad 2: usted abrió el cajón que contiene O2. En ese caso, la moneda que queda es O3....

(y creo que usted ya se imagina hacia donde apunto).... Es que hay una tercera posibilidad que hay que incluir:

3) Posibilidad 3: usted abrió el cajón que contiene O3, y en este caso, ¡la moneda que está en el otro cajón es O2!

¿Qué dice esto? Esto dice que de los tres escenarios posibles, en dos de ellos, ¡la otra moneda es de oro! O sea, de las tres posibilidades, hay dos que dan moneda de oro (en el otro cajón), mientras que solamente una es de plata.

Conclusión: la probabilidad de que la otra moneda sea de oro es de... 2/3 (o de casi un 66,67 por ciento). Dicho de otra forma: sobre los tres casos posibles, hay dos en los cuales la otra moneda es de oro. Dos sobre tres... o sea, 2/3.

Y esto es lo que genera tanta controversia, porque uno no advierte que cuando abre el cajón y encuentra una moneda de oro, pudo haber abierto cualquiera de los TRES cajones que contenían monedas de oro. Como escribí más arriba, en solamente uno de los casos (si usted eligió O1), del otro lado hay una moneda de plata, mientras que en los otros dos, la moneda restante es de oro.

Este ejemplo y este caso a mí me parece fascinante, porque no solo atenta contra la intuición, sino que muestra cómo uno puede entrenar esa misma intuición, como si fuera un músculo. Y en el camino, uno se educa... lo que ciertamente, no es poco.

                     

Usted... ¿qué pensó?