La Zona Azul... @dealgunamanera...

La Zona Azul...

El otro día, conversando con un matemático de origen chino, me comentó sobre un problema que les habían planteado a niños de seis años en algunas escuelas públicas. Me mostró una figura (que es la que aparece más abajo) y me dijo que la pregunta que les hacían era la siguiente: “Tratá de determinar el área de la superficie pintada de azul... la zona azul”.

© Escrito por Adrián Paenza el sábado 31/12/2016 y publicado por el Diario Página/12 de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.

Me pareció un poco “raro” que fuera para niños de seis años pero, para convencerme, me mostró un enlace a una página en Internet  donde se proponía el mismo problema y en la presentación dice, explícitamente, que fue presentado a niños chinos de seis años.

Dicho esto, ahora creo que no interesa demasiado si fue así o no; lo que sí me importa es proponerlo acá y planteárselo a usted. Pero quiero hacer una observación más: ¡no importa si usted puede o no hacer las cuentas! Yo le voy a aportar los datos que quizás usted necesite, pero lo que sí me parece muy interesante es si usted puede decir: ésta es la estrategia que yo usaría para calcular lo que me piden. Es decir: para hacer los cálculos, yo le voy a dar lo que necesita, pero la estrategia la tiene que diseñar usted. Y créame, esto es lo único que importa. Para elaborar el plan, no le hace falta nada.

Para hacer las cuentas, sí.

Ahora sí, algunos detalles que quizás necesite.

1) El área de un círculo se calcula (como usted debe haber escuchado miles de veces, muy posiblemente en la escuela y/o colegio), como (pi “por” radio al cuadrado). A los efectos de hacer las cuentas más sencillas, si cree que lo necesita, utilice como aproximación del número pi, al número 3,14. Con eso le va a alcanzar. 

2) Si le hiciere falta también, el radio (en una circunferencia o un círculo) es la mitad del diámetro. Por ejemplo, si usted mira una rueda de bicicleta, “los rayos” que salen desde el centro son todos radios de esa rueda. Por supuesto, es solo una manera de visualizar lo que es un “radio”. 

3) Dos datos más, que no sé si necesitará, o no, pero para que no tenga que ir a buscarlos en otro lado: el área de un rectángulo se calcula como la “base” por la “altura”, es decir, la longitud de un lado multiplicada por la longitud del otro. Y por último, el área de un triángulo, se calcula como la medida de la base por la longitud de la altura... y sí... como me imagino que le sale una voz desde adentro que le dice: DIVIDIDO DOS. Bien: el área de un triángulo es efectivamente, “base por altura sobre dos”.

Con todos estos datos, fíjese en la Figura 1 y trate de estimar el área de la “Zona Azul”. La Figura consiste de un rectángulo cuyos lados miden 10 y 20 (podrían ser metros o centímetros o la unidad que usted quiera... ese dato es irrelevante; lo único que importa es que uno mide 10 y el otro mide 20). Dentro de ese rectángulo hay dos círculos, que son “tangentes” en el sentido que se “tocan” solamente en un punto (como se ve en la figura).

Antes de escribir la respuesta, me gustaría proponerle, una vez más algo que me parece súper-importante: ¡no lea lo que viene más abajo! ¡No se prive de pensarlo usted por su cuenta! ¿Quién la/lo apura? Permítase tener este problema en su cabeza tanto tiempo como le haga falta. Quizás se le ocurra enseguida; quizás no. ¿Y? ¿Qué diferencia hay? Ahora sí, su turno. 

Respuesta

Fíjese en lo siguiente. La “diagonal” que corta el rectángulo por la mitad, deja al área del rectángulo dividido en dos mitades. La Zona Azul que aparece en una mitad (en el triángulo de abajo), tiene una réplica en el triángulo “de arriba”. Es decir, el triángulo de arriba, también tiene su zona azul, sólo que no está marcada. Con este dato, ¿no tiene ganas de seguir por su cuenta ahora?

En todo caso, lo que uno podría hacer es lo siguiente: tomar el rectángulo entero, calcular el área, y restarle el área de los dos círculos. ¿Qué se obtendría? No tendríamos lo que queremos, pero estaríamos cerca, porque si al área del rectángulo le quitamos la de los dos círculos, vamos a tener dos “zonas azules”. Nos bastará con dividir por dos... ¡y listo!  Y justamente eso es lo que hay que hacer. Faltan las cuentas, pero el plan conduce a la solución.

¿Qué datos necesitamos?

a) Área del rectángulo. Esto es fácil: (lado por lado) = 10 x 20 = 200

b) Área de cada círculo. Como escribí más arriba, es (pi x radio al cuadrado). ¿Cuánto mide el radio? (¿quiere pensar usted por su cuenta?). Mientras tanto, yo sigo. Hay muchas maneras de convencerse que el radio mide 5. Yo le propongo que mire el círculo de la derecha (por ejemplo). El diámetro (que es la medida que va entre los dos puntos en donde ese círculo “besa” el techo y el piso del rectángulo) mide entonces 10. Como el radio es la mitad del diámetro, entonces, el radio mide 5.

c) ¿Cómo se calcula el cuadrado del radio entonces? Basta con multiplicarlo por sí mismo; es decir (5 x 5) = 25... 

¿Y ahora? Faltan los cálculos finales. 

1) Área del círculo: (pi x radio al cuadrado) = (3,14 x 25) = 78,5

2) Área de los dos círculos sumados = 78,5 + 78,5 = 157

3) Si restamos el área del rectángulo menos el área que ocupan los dos círculos, se tiene: 200 - 157 = 43

4) Pero este no es el resultado final, porque esto mide el área de LAS DOS ZONAS AZULES. Todavía falta dividir este número por la mitad: 43/2 = 21,5.

Listo. La Zona Azul mide 21,5

Para terminar, quiero hacer algunas reflexiones junto a usted. Si el objetivo pasa por hacer todos los cálculos, entonces sí, necesita de todos los datos que yo le di más arriba, pero para mí lo esencial es ser capaz de elaborar un plan, una idea, una estrategia, que sea conducente para llegar a la solución. Las cuentas las puede hacer una calculadora o una computadora. El plan lo tuvo que hacer usted. 

Feliz Año Nuevo.