El viaje del caballo... De Alguna Manera...

El viaje del caballo...

El siguiente problema involucra un tablero de ajedrez y un caballo. Pero espere: no hace falta saber casi nada de ajedrez, o sea, no se deje intimidar. Es una propuesta muy bonita para tratar de elaborar una estrategia y, en función de lo que usted piense, poder dar una respuesta positiva o negativa. Dése una chance antes de decir que “esto no es para mí”. Lo único que hace falta es saber cómo “mueve” un caballo en el ajedrez. Si nunca prestó atención, un caballo puede hacer los siguientes movimientos:

a) dos casillas hacia adelante y una hacia la derecha
 

b) dos casillas hacia adelante y una hacia la izquierda
 

c) dos casillas hacia atrás y una hacia la derecha
 

d) dos casillas hacia atrás y una hacia la izquierda

Por supuesto, se trata de que el caballo no se “salga” del tablero, o sea, si en alguno de esos movimientos potenciales el caballo se “cae”, entonces ese movimiento no está permitido. Sé que es una obviedad, pero me interesa puntualizarlo. Pero hay más: faltan otros cuatro movimientos.

a) una casilla hacia adelante y dos hacia la derecha
 

b) una casilla hacia adelante y dos hacia la izquierda
 

c) una casilla hacia atrás y dos hacia la derecha
 

d) una casilla hacia atrás y dos hacia la izquierda

Como se ve, es todo muy simétrico. Por último, antes de plantear el problema, quiero dibujar acá abajo un tablero de ajedrez. Se trata de una grilla de 8 x 8 casillas (o sea, comprende 64 cuadrados).

La idea ahora es tratar de contestar esta pregunta: suponga que usted tiene un caballo puesto en este tablero ubicado en el extremo inferior izquierdo. ¿Se puede llevar el caballo desde este lugar hasta el extremo superior derecho pasando por cada casilla del tablero exactamente una sola vez?

Antes de avanzar: se trata de llegar con movimientos típicos de un caballo de ajedrez –como los que describí más arriba– desde la casilla que ocupa el extremo inferior izquierdo hasta la que está en el extremo superior derecho, pasando POR TODAS las casillas pero UNA SOLA VEZ.

Como se ve, no es un problema complicado. El enunciado es muy sencillo de entender (creo). 

Lo único que espero de usted es que no renuncie a pensar el problema muy rápido, dése una chance. Todo lo que hay que hacer es dedicarle un rato y tropezarse con las preguntas que le irán surgiendo a medida que lo vaya pensando.

¿Se podrá? Digo, ¿se podrá elaborar un camino para que el caballo pueda llegar de una punta a la otra del tablero pasando por todas los casilleros una sola vez?

Quiero dejar de escribir para que usted avance en soledad. Nos reencontramos más abajo.

Respuesta

Antes de avanzar, quiero proponerle que se fije una vez más en el tablero. Olvídese del caballo por ahora, mire el color de las casillas. La inferior izquierda es de color negro. La superior derecha es también de color negro. ¿Por qué quiero hacerla/hacerlo pensar en esto? Porque no quiero escribir la solución tan rápido, sino que prefiero elaborar algo junto a usted. Si no tiene ganas y/o paciencia, lea el último párrafo de este artículo y allí está todo explicado en forma resumida, pero créame que vale la pena que me acepte la propuesta.

Algunas preguntas:

a) Cuando el caballo hace un movimiento de una casilla hacia otra, ¿qué pasa con el color de las casillas inicial y final?

b) ¿Sucede siempre? Es decir, sin importar si la casilla de inicio es blanca o negra, ¿sucede siempre lo que usted descubrió recién?

Con este dato que ahora tenemos(1), fíjese en el color de la casilla inicial del problema y del casillero final. Como usted advierte, son ambas de color negro. Recuerde este dato.

Otras reflexiones más. Si la idea es tratar de ver si es posible elaborar un camino que cumpla con ir desde la casilla inferior izquierda hasta la superior derecha pero pasando solamente una vez por cada casilla, ¿cuántas movidas tiene permitido hacer el caballo? Es decir, como en total el tablero tiene 64 casillas, y el caballo ya está parado en una de ellas (la inferior izquierda), cada movimiento que haga tiene que llevarlo a un casillero distinto. Como no puede repetir casilleros, ¿cuántos movimientos terminará dando el caballo? Le propongo que piense usted la respuesta.

Como usted descubre, el caballo tendrá que hacer entonces exactamente 63 movidas. Cada movida debería llevarlo a una casilla distinta.

Ahora bien: cuando el caballo hace la primera movida (la movida uno) pasa de una casilla de color negro a una de color blanco (no importa cuál sea la movida). Y cuando haga la movida dos, pasará de una blanca a una negra otra vez. Y cuando haga la movida tres, pasará a una blanca. Y cuando haga la cuatro, pasará a una negra. Y así siguiendo: cada vez que hace una movida par, termina en una casilla de color negro, y cuando hace una movida impar, termina en una casilla de color blanco. Este dato también es importante.

¿Cómo hacer ahora para usar todo lo que averiguamos? ¿Recuerda cuántas movidas tenía que hacer el caballo si quería cumplir con el objetivo? Eran 63. O sea, un número impar de movidas. Pero como acabamos de ver recién, cada vez que hace una movida impar, termina en una casilla de color blanco. ¿Y de qué color es la casilla que está en el extremo derecho? Es de color negro. Por lo tanto, ¿cuál es la conclusión?

La conclusión es que el camino que uno quisiera poder diseñar para que el caballo pueda unir el extremo inferior izquierdo con el superior derecho ¡no puede existir! Inexorablemente tendrá que utilizar un número par de movimientos para llegar a una casilla de color negro. Pero si hace 62 no llegará a cubrir todo el tablero, y si hace 64 movimientos estará forzado a repetir alguna casilla.

La moraleja, entonces, es que el camino que uno quería elaborar no existe.

La matemática involucrada es muy sencilla. Todo lo que hay que hacer es observar lo que sucede con los movimientos de orden par o impar, y fijarse el color de la casilla en la que termina esa movida, pero lo extraordinario es que con este análisis uno está seguro de que no es que usted y/o yo no pudimos encontrar el camino pero podría venir alguna otra persona y sí 

encontrarlo. No. El camino ¡no existe! O mejor dicho, ¡no puede existir!

Y de eso se trata muchas veces. En lugar de estar penando y golpeándose la cabeza pensando en que es uno el que no puede encontrar la solución a un problema, un análisis de este tipo permite concluir que no depende ni de usted ni de mí: nadie va a poder. ¿Bonito, no? Ah, y antes de que me olvide: esto también es hacer matemática.

(1) El color de la casilla siempre cambia: si el caballo empieza en una casilla de color blanco, cualquiera sea el movimiento –permitido– que haga, termina en una negra. Y al revés: si empieza en una negra, termina en una blanca.

© Escrito por Adrián Paenza el Domingo 27/04/2014 y publicado por el Diario Página/12 de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.