La Paradoja de los Cajones de Bertrand…
Los cajones de Bertrand. Figura 1
Quiero contar un problema que suele generar múltiples
controversias. Y está bien que eso suceda. En principio, la intuición
indica una potencial respuesta. En general, esa respuesta no está bien y, por
lo tanto, despierta –con toda razón– una rebelión frente al interlocutor.
Téngame un poquito de paciencia y ya verá a qué me refiero.
© Escrito por Adrián Paenza el sábado 18/03/2017 y publicado por el Diario
Página/12 de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.
De hecho, cuando el matemático francés Joseph Bertrand lo presentó en 1889
en su libro “Calcul des Probabilities” (“Cálculo de Probabilidades”), la
comunidad científica de la época entró en múltiples discusiones sobre si la
solución presentada en el libro está bien o no. Es posible que a usted le pase
lo mismo... o no, pero en cualquier caso, creo que vale la pena aprovechar este
ejemplo para educar la intuición o, en todo caso, ponerla a prueba.
Supongo que es innecesario, pero lo escribo
igual: el problema tiene respuesta única. Es decir, más allá de lo que yo
escriba acá abajo, en ciencia no existe el principio de autoridad. Si usted no
se queda satisfecha/o con lo que va a leer, ¡no lo acepte! Discútalo
internamente (ya que yo no estoy allí con usted), hasta convencerse que o bien
estoy equivocado yo... o usted. A mí... no me crea nada: lo único que vale es
su propia deducción.
Lo curioso es que –de acuerdo con mi
experiencia– aún en el momento en el que uno escucha/lee/entiende cuál es la
verdadera respuesta... decía, ni aún así uno se queda conforme. ¡Y está muy
bien que sea así! Acá voy.
En una habitación hay tres escritorios
iguales con dos cajones cada uno (como los que se ven en la Figura 1).
Uno de los escritorios tiene una moneda de oro en cada cajón; otro tiene
una moneda de plata en cada uno mientras que en el restante hay una moneda de
cada metal. Desde afuera no hay manera de decidir qué contiene cada cajón.
Usted entra en esa habitación y elige un
cajón de cualquiera de los tres escritorios. Lo abre y descubre que adentro hay
una moneda de oro. Aquí es donde viene la pregunta (y el problema):
“¿Cuál es la probabilidad de que en el otro
cajón del mismo escritorio, haya también una moneda de oro?”
Creo que el enunciado es sencillo y la pregunta es muy clara. Ahora... le
toca a usted.
Respuesta.
Antes de proponerle que pensemos juntos la
respuesta, tengo una pregunta: ¿a qué resultado llegó usted?
La tentación es decir que la probabilidad de
que en el otro cajón haya una moneda de oro es ½ (50 por ciento). ¿Por qué? Es
que una posible forma de razonar es la siguiente. Como usted tiene en la mano
una moneda de oro, eso sirve para descartar al escritorio que tiene las dos
monedas de plata. Los dos (escritorios) que quedan en carrera son: el que tiene
las dos monedas de oro y el que tiene una de cada una. Y esto es obviamente
correcto.
¿Cómo seguir? Si la moneda de oro que usted
tiene en la mano la encontró dentro del cajón que corresponde al escritorio que
tiene dos monedas de oro, entonces, la que queda es –justamente– de oro.
Pero también podría haber sucedido, que usted haya elegido el escritorio en
donde cada cajón tiene una moneda de un metal distinto. En este caso, la que
queda, ¡es de plata!
Desde aquí, pareciera... y quiero enfatizar
esta palabra... pareciera que uno está en condiciones de contestar la pregunta
de esta forma:
"La probabilidad entonces que la otra moneda
sea de oro es ½ (o lo que es lo mismo, 50 por ciento)”
Sin embargo, esta respuesta no es correcta.
¿Cómo dijo? ¿Por qué? ¿Cómo que no es
correcta? Y puedo imaginarme su fastidio.
“Si yo elegí una de oro, la que queda puede
ser o de oro o de plata y por lo tanto, hay justo la mitad de posibilidades de
que sea una u otra.
¿No se deduce de acá que la probabilidad es justo ½ (un 50 por ciento)?
¿Dónde está el error”.
Entiendo lo que me dice, pero ahora,
permítame incluir un elemento que no tuvimos en cuenta hasta acá. Para hacer
más gráfico el análisis, hagamos de cuenta que las monedas que están dentro de
los escritorios tienen una etiqueta.
Me explico: en el escritorio que hay una de
cada metal, llamo O1 (a la moneda de oro) y P1, a la de plata. Del mismo modo,
llamo O2 y O3, a las dos monedas de oro que hay en el otro escritorio (el que
tiene las dos monedas de oro).
Ahora, cuente conmigo cuáles son los
escenarios posibles.
1) Posibilidad 1: usted abrió el
cajón que contiene O1, y por lo tanto, en el otro cajón (que usted no ve) está
P1. Perfecto.
2) Posibilidad 2: usted abrió el
cajón que contiene O2. En ese caso, la moneda que queda es O3....
(y creo que usted ya se imagina hacia donde
apunto).... Es que hay una tercera posibilidad que hay que incluir:
3) Posibilidad 3: usted abrió el
cajón que contiene O3, y en este caso, ¡la moneda que está en el otro cajón es
O2!
¿Qué dice esto? Esto dice que de los tres escenarios posibles, en dos de
ellos, ¡la otra moneda es de oro! O sea, de las tres posibilidades, hay dos que
dan moneda de oro (en el otro cajón), mientras que solamente una es de plata.
Conclusión: la probabilidad de que la otra moneda sea de oro es de...
2/3 (o de casi un 66,67 por ciento). Dicho de otra forma: sobre los tres casos
posibles, hay dos en los cuales la otra moneda es de oro. Dos sobre tres... o
sea, 2/3.
Y esto es lo que genera tanta controversia, porque uno no advierte que
cuando abre el cajón y encuentra una moneda de oro, pudo haber abierto
cualquiera de los TRES cajones que contenían monedas de oro. Como escribí más
arriba, en solamente uno de los casos (si usted eligió O1), del otro lado hay
una moneda de plata, mientras que en los otros dos, la moneda restante es de
oro.
Este ejemplo y este caso a mí me parece fascinante, porque no solo atenta
contra la intuición, sino que muestra cómo uno puede entrenar esa misma
intuición, como si fuera un músculo. Y en el camino, uno se educa... lo que
ciertamente, no es poco.
Usted...
¿qué pensó?
